I. Sachverhalt

Viktor Vekselberg (Kläger / Beschwerdeführer) ist russischer Staatsangehöriger mit Wohnsitz in der Schweiz. Er hält zahlreiche Beteiligungen an Grossunternehmen und ist Gründer der Renova Group, die Beteiligungen in verschiedenen Wirtschaftssektoren hält.

Die PostFinance AG (Beklagte / Beschwerdegegnerin) ist eine Aktiengesellschaft mit Sitz in Bern. Sie erfüllt u.a. die Verpflichtung zur Grundversorgung sämtlicher Landesteile mit Dienstleistungen des Zahlungsverkehrs (Art. 2 Abs. 2 Postverordnung (SR 783.01) ("VPG")).

Im April 2018 setzte das US Office of Foreign Assets Control den Kläger (wie auch die Renova Group) im Rahmen der erweiterten Sanktionen gegen Russland auf die Liste der Specially Designated National and Blocked Person ("SDN"). Die Sanktionen gegen SDNs sind im "Ukraine Freedom Support Act", im "Countering America's Adversaries Through Sanctions Act" und ergänzenden Richtlinien festgehalten. Diese Richtlinien verbieten es insbesondere "U.S. Persons", Geschäfte mit SDNs oder mit Unternehmen zu tätigen, die zu mehr als 50% von einer SDN kontrolliert werden.

Im Oktober 2018 beantragte der Kläger bei der...